多尺度地震波数值模拟可以同时兼顾大尺度宏观效应和小尺度精细结构，从而有效地节省计算量，在实现过程通常需要对局部模型进行细化。基于有限元方法的域缩减法，可以灵活处理局部复杂结构和起伏地表的跨尺度问题，是实现多尺度模拟的常用手段之一。在处理过程中，过渡区域需要对外域（粗网格）波场进行插值，实现上采样，以适应内域（细网格）的波场（图1）。然而，常用的波场插值方法精度较低，通常只能实现较小的上采样倍率（M）。 

图1 地震波场模拟的两个感兴趣区域的示意图： Ω和Ω⁺分别表示内域（细网格）和外域（粗网格）；过渡区域Γ包括Γe和Γb，其中下标b和e分别表示边界域和外部域

　　中国科学院地质与地球物理所地球与行星物理院重点实验室博士后张磊与合作导师张金海研究员，提出了一种基于傅里叶插值的有限元波场上采样方法（图2）。由于傅里叶插值要求空间采样点均匀分布，该方法需要在过渡区域进行均匀采样。好在由于域缩减法的特点，该均匀采样仅涉及到粗网格和细网格之间的一层单元（即两层结点）。数值试验结果表明，该方法在精度上优于线性插值或立方插值，即使是40倍的上采样倍率（M=40），其相对误差也小于2%；而相比之下，线性插值和立方插值的相对误差则分别高达90%和41%。

图2 跨尺度地震波场模拟的傅里叶插值方法示意图：（a）域缩减法的第一步中使用的粗网格，在关心区域的边界有一个过渡区域，粗网格模拟中获得Γe和Γb这两层节点的位移时程，供后续计算；（b）通过汉宁窗平滑波场，沿过渡区域的一层单元的结点位移需要插值为原来的M倍（此处M=3）；（c）傅里叶变换后的波场；（d）拆分波场的频谱，并在奈奎斯特频率处插入零值；（e）逆傅里叶变换，实现波场上采样

　　为了将该方法拓展应用到非均匀网格的情形（如起伏地表和地下复杂结构），他们首先在目标区域内利用立方插值对非均匀网格上的波场进行规则化，并利用合理外插以避免起伏地表附近波场的空间不连续性，随后再执行傅里叶插值方法。数值试验结果表明：该方法能够同时适应起伏地表、多层非均匀介质和背景随机扰动等三维模型（图3），且在保持数值模拟精度的同时，显著提高了跨尺度地震波场模拟的效率。 

图3 模拟的不同三维模型中垂向位移快照：（a）t=4.065 s时的体波；（b）t=6.900 s时的面波；（c）所有时程中的最大位移分布图；（d）本文方法得到的垂向位移波形与理论结果的对比，接收点为图a中沿地表（南-北）的蓝色点

　　研究成果发表于勘探地球物理学领域国际学术期刊Geophysics （张磊, 张金海^*. Local wavefield refinement using Fourier interpolation and boundary extrapolation for finite-element method based on domain reduction method [J]. Geophysics, 2022, 87(3): T251-T263. DOI: 10.1190/geo2021-0503.1）（原文链接）。研究受科技部国家重点研发计划重点项目（2020YFA0713400）和中国博士后科学基金面上项目（2021M703193）的资助。