有限差分方法是地震波场模拟领域广泛采用的方法之一。然而，该方法仅对低频率和精细网格模型才具有较高的精度和执行效率，在高频率或粗网格情形下会产生较强的数值频散噪音,严重制约着成像和反演的精度和效率。

优化方法可以在保持计算效率的前提下有效地消除频散。但是以往的优化方法通常采用较大的误差范围来获取希望的精确频谱范围，其后果是优化系数往往很难达到理想的精度，有时甚至劣于优化之前的精度，因而未能在实际生产中得到推广使用。

地质与地球物理研究所地球深部结构与过程研究室张金海副研究员和姚振兴研究员新近提出了一种提升有限差分模拟精度的新思路。该方法在谱域求取有限差分算子的响应，并直接与解析频谱进行比较，通过优选设定误差的容许范围，进而利用全局优化方法得到精度可靠的优化算子。

实验结果表明：新方法得到的精确频谱覆盖区域明显高于常规有限差分方法（如图1），这意味着采用相对低阶的方法就可以得到与高阶方法几乎一致的模拟结果（如图2和3）。更重要的是，该研究提出的误差范围是到目前为止公开发表的最小误差范围，确保了波场在传播了一定的时间和空间以后仍然具有切实可靠的精度（如图3）。该研究开辟了一条切实可行的消除数值频散误差的新思路，能有效的消除数值频散，进而降低数值模拟的计算量和内存需求（如图4），为现行的高精度成像和波形反演提供了更为精确、高效的新方法，具有理论意义和实用价值。此外，该方法不仅仅适用于波动方程的空间偏导数离散，它可以推广到更加广泛的数值模拟领域，比如热扩散方程和其它物理方程。

 图1：系数优化前后的精确频谱范围对比。黑色实线代表常规有限差分方法，线上的数字代表算子阶数；红色和蓝色虚线分别代表优化的8阶和12阶有限差分算子。(b)为(a)的局部放大。由图1（a）可见，优化的8阶算子同常规的12阶算子十分接近，优化的12阶算子同常规的24阶算子十分接近。

 图2：优化系数前后的波场快照对比。字母C代表常规有限差分方法，字母O代表本文的优化方法，字母后面的数字代表算子的阶数。不难看出，常规的8阶算子具有较强的数值频散，优化的8阶算子同常规的12阶算子十分接近，均没有出现数值频散的干扰（以常规的16阶为参考）。

 图3：优化系数前后的波形对比。虚线代表常规的36阶算子，蓝、红、绿分别代表常规的12阶、常规的24阶、优化的12阶有限差分方法。不难看出，常规的12阶算子已经出现了明显的数值频散，而优化的12阶算子同常规的24阶算子十分接近，均没有出现数值频散的干扰（以常规的36阶为参考）。随着传播时间增大，常规12阶算子的频散也明显加强，而优化的12阶算子一直与常规24阶算子保持一致，频散并未加强。

 图4：优化方法和常规方法在计算量和内存需求方面的对比。字母C代表常规的方法，O代表优化的方法，字母后面的数字代表算子的阶数。不难看出，优化后的方法既具有相对少的内存需求又具有相对高的执行效率。这种优势对于三维情形更加明显。

该研究成果近期发表在国际知名的地球物理学领域期刊Geophysics上(Zhang et al. Optimized finite-difference operator for broadband seismic wave modeling. Geophysics. 2013, 78(1):13–18)。

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